动态规划：数字金字塔 ＜--- 最后一步法

【问题描述】 观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。 【样例输入】 第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。所有的被供应的整数是非负的且不大于100。 【样例输出】 单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。 【动态规划问题分析思路】 此问题是“最值型”问题，适用于利用动态规划方法解决。 步骤如下： 1.确定状态 ■ 研究最优策略的最后一步 ■ 化为子问题 ■ 注意：状态在动态规划中的作用属于定海神针 2.状态转移方程 ■ 根据子问题定义直接得到 3.初始条件和边界情况 ■ 细心，考虑周全 ■ 注意：不能通过状态转移方程计算出的值设为初始条件 4.计算顺序 ■ 原则是利用之前的计算结果。故可依据状态转移方程确定计算顺序。 上述分析思路详见：https://www.bilibili.com/video/BV1xb411e7ww 【本题利用最后一步法的解题思路】

将金字塔拉伸为如图所示形状，更便于分析。 最后一步：从最高点到底部任意处（i,j）时，路径所经过的数字和最大。 子问题：从最高点到（i-1,j-1）处所经过的数字和最大值，及从最高点到（i-1,j）处所经过的数字和最大值的较大值加上（i,j）处结点的值。 状态：设f[i][j]表示从最高点到（i,j）路径所经过的数字和的最大值。 状态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]; -->a[i][j]表示结点（i,j）的值，即图中圆圈中的值。 初始条件：f[1][1]=a[1][1]; -->因为此分析过程将二维数组的两个维度的下标都从1开始，所以f[1][1]不能通过上面确定的状态转移方程计算出来，所以必须明确指定。 计算顺序：自动依据状态转移方程确定。 【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];

int ans=-inf;

int main() {
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=i; j++) {
			cin>>a[i][j];
		}
	}

	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=0; j<=i+1; j++) { 
			f[i][j]=-inf; //若输入有负数，此段代码就能避坑
		}
	}

	f[1][1]=a[1][1];
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=i; j++) {
			f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];
		}
	}

	for(int i=1; i<=n; i++) {
		ans=max(ans,f[n][i]);
	}
	cout<<ans<<endl;

	return 0;
}


/*
in:
5
13
11 8
12 7 26
6 14 15 8
12 7 13 24 11
out:
86
-----------------------------
in:
5
3
2 6
1 8 7
9 1 3 6
2 5 3 2 1
out:
24
-----------------------------
in:
10
-6
-4 -5
-3 7 5
3 7 -2 1
10 2 -6 2 -6
-8 3 8 6 7 9
-4 -10 0 -3 4 9 2
0 5 5 5 10 -6 -5 -4
-9 7 4 9 8 -5 -2 3 2
-7 -4 0 -10 -8 -4 3 -5 8 9
out:
25
*/

上述代码是从上往下分析得出的结果。若从下往上分析，则代码为：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=505;
int a[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];
int n;

int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=i; j++) {
			cin>>a[i][j];
		}
	}

	for(int i=n; i>=1; i--) {
		for(int j=i; j>=1; j--) {
			f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];
		}
	}
	cout<<f[1][1]<<endl;
}


/*
in:
10
-6
-4 -5
-3 7 5
3 7 -2 1
10 2 -6 2 -6
-8 3 8 6 7 9
-4 -10 0 -3 4 9 2
0 5 5 5 10 -6 -5 -4
-9 7 4 9 8 -5 -2 3 2
-7 -4 0 -10 -8 -4 3 -5 8 9

out:
25
*/

【参考文献】 https://www.bilibili.com/video/BV1xb411e7ww https://blog..net/m0_47642376/article/details/111053049 https://www.acwing.com/solution/content/3485/