动态规划dp算法经典包子凑数java
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题目
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有NN种蒸笼,其中第ii种蒸笼恰好能放A_iAi个包子。每种蒸笼都有非常多笼,可以认为是无限笼。 每当有顾客想买XX个包子,卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来,使得这若干笼中恰好一共有XX个包子。比如一共有33种蒸笼,分别能放3、43、4和55个包子。当顾客想买1111个包子时,大叔就会选22笼33个的再加11笼55个的(也可能选出11笼33个的再加22笼44个的)。 当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有33种蒸笼,分别能放4、54、5和66个包子。而顾客想买77个包子时,大叔就凑不出来了。 小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。
输入
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100) 以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100) 2 4 5
输出
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个,输出INF。 6
动态规划思想
在讲动态规划思想前,本题还使用到了经典数论Ax+By=C(x,y>0)问题:若A,B互质,则有无限个C时的方程无解。否则可能有解。推广到a,b,...,n同时成立。可以利用这个思想求是否有无穷个包子数凑不出来。
所以本题中可以类似的用a1,a2,...an表示能放的包子的个数,找到合适的x,y,.......n凑出C。如果方程有解则能凑出,否则不能凑出。至于求最大公约数可以利用辗转相除法求。
然后本题就可以类似背包问题,使用到一个boolean[] dp,下标index表示index个包子是否能够凑出。当dp[i] 即i个包子可以凑出的话,那么j个包子+第i种蒸笼恰好能放Ai个包子:arr[i]也能够凑出来即index=(j+arr[i])个包子也能够凑出来:dp[j + arr[i]] = true;动态规划的思想就体现在这,另外为了节省时间,在录入数据的同时,就可以对dp[]数据进行更新。
具体代码
import java.util.Scanner; public class _包子凑数 { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int n = scanner.nextInt();//N种蒸笼 int yueshu = 0;//最大公约数 int[] arr = new int[n + 1];//以下N行每行包含一个整数Ai boolean[] dp = new boolean[10000];//下标index表示index个包子是否能够凑出 dp[0] = true;//默认0个包子可以凑出来 //在录入数据的同时,即可对dp[index]index个包子是否能够凑出来进行更新处理。 for (int i = 1; i <= n; i++) { arr[i] = scanner.nextInt();//录入数据 /** * 下面if-else语句动态求输入的数据的最大公约数 * 求当前第i种蒸笼恰好能放Ai个包子和前一个蒸笼能放的包子个数的最大公约数 */ if (i == 1) yueshu = arr[1]; else yueshu = yue(arr[i], yueshu); //更新dp[]数组 for (int j = 0; j < 10000; j++) { /** * 如果dp[j],即j个包子能够凑出来, * 那么j个包子+第i种蒸笼恰好能放Ai个包子:arr[i]也能够凑出来 * 即index=(j+arr[i])个包子也能够凑出来。 */ if (dp[j]) dp[j + arr[i]] = true;//向后递推,动态规划的体现 } } //当最大公约数!=1 说明Ai不互质,则有无限个包子数凑不出来 if (yueshu != 1) System.out.println("INF"); else { //否则统计个数 int sum = 0; for (int i = 0; i < dp.length; i++) { if (!dp[i]) sum++; } System.out.println(sum); } } /** * 辗转相除法求a,b两个数的最大公约数 * @param a * @param b * @return */ public static int yue(int a, int b) { if (b == 0) return a; else return yue(b, a % b); } }