Cities (2020ICPC-昆明)（区间dp）

题意

给出一个长度为n的序列，序列中每个元素均小于等于n，每次可以将序列中连续且相等的区间变为其他的值（更改后的当然也必须小于等于n）。 求：最小的操作次数，使得长度为n的序列所有的元素均相同。

Input

2 8 4 3 1 2 1 1 3 3 5 1 2 3 2 1

Output

2 8 4 3 1 2 1 1 3 3 5 1 2 3 2 1

思路

区间dp。

1. 假设原序列为a[n]
2. 首先将序列中相邻且相同的元素合并，也即删掉相邻的相同元素（剩下的元素为m， 然后令n = m)
3. 对于一段区间[ l, r], 用最少的次数变为相同的颜色，这个区间的颜色最终一定可以变为a[l]或a[r]
4. 考虑如何减少操作：显然，如果n个元素互不相同，则最少操作次数为 n - 1；否则，假设a[l] = a[r]，那么将a[l + 1, r - 1] 涂为 a[l] 或 a[r]，可减少一次操作。
5. f[ l ][ r ]表示将区间[ l, r ]变为相同的颜色的最小操作次数
6. 设pre[ a[ i ] ] 表示 a[i] 在 i 之前最近一次出现的位置（例如：2 3 1 4 3 5, a[5] = 3, pre[a[5]] = 2）
7. 状态转移 f [ l ] [ r ] = { m i n ( f [ l ] [ r ] , f [ l ] [ k ] + f [ k + 1 ] [ r ] ) a[k] == a[r]) m i n ( f [ l ] [ r ] , f [ l + 1 ] [ r ] + 1 , f [ l ] [ r − 1 ] + 1 ) else f[l][r] = egin{cases}min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r]) & ext{a[k] == a[r])}\ min(f[l][r], f[l + 1][r] + 1, f[l][r - 1] + 1) & ext{else}end{cases} f[l][r]={ min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r])min(f[l][r],f[l+1][r]+1,f[l][r−1]+1)a[k] == a[r])else 前者表示区间[l, r - 1]存在和a[r]相同的a[k], 后者表示不存在这样的a[k] 存在a[k] = a[r]时：区间[l, k]涂为a[k]， 区间[k + 1, r]涂为a[r]即可（由于a[k] = a[r]，所以这样可以减少一次 操作） 不存在a[k] = a[r]时：那么f[l, r]可直接由区间长度比[l, r]少1的区间[l, r - 1]或者[l + 1, r]转移过来

CODE

const int N = 5e3 + 6;
int f[N][N];
int a[N], mp[N], pre[N];

int main()
{
          
   
	IOS;
	int T; cin >> T;
	while (T--)
	{
          
   
		int n; cin >> n;
		int m = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
          
   
			cin >> a[i];
			if (a[i] == a[i - 1])
                i--, n--;
            else m++;
		}
        
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			mp[i] = pre[i] = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
          
   
			pre[i] = mp[a[i]];
			mp[a[i]] = i;
		}
		
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			for (int j = 1; j <= m; j++)
			{
          
   
				if (i == j) f[i][i] = 0;
				else f[i][j] = inf;
			}
		for (int len = 2; len <= m; len++)
		{
          
   
			for (int l = 1; l <= m - len + 1; l++)
			{
          
   
				int r = l + len - 1;
				int& x = f[l][r];
				
				//若不存在与a[r]相同的颜色，则直接转移即可
				if(a[l] != a[r])
                    x = min({
          
    x, f[l + 1][r] + 1, f[l][r - 1] + 1 });
				//存在与a[r]相同的颜色，则减少其操作次数
				for (int k = pre[r]; k >= l; k = pre[k])
					x = min(x, f[l][k] + f[k + 1][r]);
			}
		}
		
		cout << f[1][m] << endl;
	}

	return 0;
}

总结

dp最重要的还是要定义好状态以及不漏的将状态转移。看了好多篇题解，都是写的一知半解（幽灵），而且状态转移的时候都不太清楚，转移方程都有交集。。所以我费了好久写了一篇自己的理解。。