多普勒效应及多普勒频移的简单推导

f d ≡ f R − f T (1) f_dequiv f_R-f_T ag{1} fd≡fR−fT(1)   式中， f d f_d fd表示多普勒频移， f R f_R fR表示目标回波的频率（Hz), f T f_T fT表示发射信号的频率（Hz）。 多普勒频移的表达式为： f d = 2 v λ (2) f_d=frac{2v}{lambda} ag{2} fd=λ2v(2)   式中， λ lambda λ为信号波长(m)，v为雷达与目标间的相对径向速度(m/s)。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。   多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。   下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。   雷达发射一段正弦波，起始点为A,终止点为B,在空间延伸的长度为D,频率为 f 0 f_0 f0.目标以径向速度 v r v_r vr向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同）,如图所示：   由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间 Δ t Delta t Δt为： Δ t = D c + v r ( s ) (3) Delta t=frac{D}{c+v_r}(s) ag{3} Δt=c+vrD(s)(3)   当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度 D ′ D D′，其计算式为： D ′ = ( c − v r ) ⋅ Δ t = c − v r c + v r D (4) D=(c-v_r)cdotDelta t=frac{c-v_r}{c+v_r}D ag{4} D′=(c−vr)⋅Δt=c+vrc−vrD(4) 其中 c − v r c-v_r c−vr表示 B B B点反射后电磁波相对目标的速度。   反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为 f 0 ′ f_0 f0′，则有： f 0 ′ f 0 = D D ′ = c + v r c − v r = 1 + 2 v r c − v r ≈ 1 + 2 v r c (5) frac{f_0}{f_0}=frac{D}{D}=frac{c+v_r}{c-v_r}=1+frac{2v_r}{c-v_r}approx1+frac{2v_r}{c} ag{5} f0f0′=D′D=c−vrc+vr=1+c−vr2vr≈1+c2vr(5) 上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移 f d f_d fd为： f d = f 0 ′ − f 0 = f 0 ⋅ 2 v r c = 2 v r λ (6) f_d=f_0-f_0=f_0cdotfrac{2v_r}{c}=frac{2v_r}{lambda} ag{6} fd=f0′−f0=f0⋅c2vr=λ2vr(6)