SI，SIS，SIR，SEIRD模型
SI，SIS，SIR，SEIRD模型
SI model
作为比较古早的传染病模型（不对指数模型进行介绍），SI model在假设人口总数不变（不发生迁移，出生及死亡）的情况下，将人群分为易感人群S（suspectible）和病人I（Infective），在时刻 t t t下，这两类人群的占比分别为 s ( t ) s(t) s(t)和 i ( t ) i(t) i(t)，并假设病人每天有效接触的平均人数为 λ lambda λ。当I类人群与S类人群进行接触，S被感染，转为I类人群。 So，每个病人每天可以感染的人数为 λ ⋅ s ( t ) lambda cdot s(t) λ⋅s(t)，共有 N ⋅ i ( t ) N cdot i(t) N⋅i(t)个病人，故每天总感染人数为 λ ⋅ s ( t ) N ⋅ i ( t ) lambda cdot s(t) N cdot i(t) λ⋅s(t)N⋅i(t) 由图3可得，SI模型中新增病人数量在 i = 1 / 2 i=1/2 i=1/2时增速最大，带入公式（6）可得 t m t_m tm为该模型适用于不可治愈传染病。
SIS model
和SI模型不同，SIS模型假设病人治好后变成健康者，健康者可以再次被感染成为病人。相比与SI模型， SIS模型增加条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为一个常数 μ mu μ，称 μ mu μ为日治愈率，病人治愈后仍可被感染。 1 μ frac{1}{mu} μ1为平均感染期。如 μ = 0.2 mu = 0.2 μ=0.2时，该疾病的日治愈率为 20 % 20 \% 20%，平均感染期为5天。 得其增速曲线和函数曲线分别为
σ > 1 sigma>1 σ>1代表每天传染的人数大于治愈的人数， σ ≤ 1 sigma leq 1 σ≤1则相反。SIS的模型曲线表明，当每天传染的人数大于治愈人数时（ σ > 1 sigma>1 σ>1），不论初始状态下病人的人数是否大于 1 − 1 σ 1-frac{1}{sigma} 1−σ1，最终感染的人数都趋于定值；当 σ ≤ 1 sigma leq 1 σ≤1时，所有人都会被治愈。显而易见， σ sigma σ在其中起关键作用。
SIR model
SIR考虑三种人群状态：S 类人群，易感人群；I 类人群，感染者；R 类人群，康复者，指的是感染者成功治愈，有免疫力的健康者。 由该图可得，SIR模型中病人最终全被治愈/移除，健康的易感者保持大于 5 % 5\% 5%的比例。该图由matlab绘制，具体参数如下： 其中病人初始占比为0.1，易感者为0.9。 在这里要说明的是，大部分论文在使用SIR模型时，传染率和治愈率是呈1.5倍的关系，即传染率比治愈率等于1.5，而治愈率由图中的拓扑结构决定，与肖老师在PPT中所展示的图有所不同。所以大部分论文在使用SIR模型时，得出的结论是图中感染者的数量最终会达到一个稳定状态（如下图所示），即趋于定值。
