题目

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

解题思路

这是一个典型的能用动态规划解决的问题。我们先用递归的思路来分析。我们先定义第一个函数f(i,j)表示到达坐标为（i,j）的格子时能拿到的礼物总和的最大值。根据题目要求，我们有两种途径到达坐标为（i,j）的格子：通过格子（i-1,j）或者（i,j-1）。所以f（i，j）=max（f（i，j-1）f（i-1，j））+gift[i，j]。gift[i，j]表示坐标（i,j）的格子里礼物的价值。 尽管我们用递归来分析问题，但由于递归有大量的重复性计算，导致递归的代码并不是最优的。相对而言，基于循环的代码效率要高得多。为了缓存中间计算结果，我们需要一个一维辅助数组，该一维数组的长度为棋盘的列数n。因为到达坐标为（i，j）的格子时能够拿到的礼物的最大价值只依赖坐标为（i-1，j）和（i，j-1）的两个格子。

C++实现

int getGiftMaxValue2(const int *values, int rows, int cols)
	{
          
   
		if (!values || !rows || !cols)
			return 0;
		int *maxValues = new int[cols];//一维数组的内存不能申请为rows的大小，除非rows在内层循环		
		for (int i = 0; i < rows; ++i) 
		{
          
   
			for (int j = 0; j < cols; ++j)
			{
          
   
				int left = 0;
				int up = 0;
				if (i > 0)
					up = maxValues[j];
				if (j > 0)
					left = maxValues[j - 1];
				maxValues[j] = max(up, left) + values[i*cols + j];
			}
		}
		int maxValue = maxValues[cols - 1];
		delete maxValues;
		return maxValue;
	}

1. 时间复杂度：O（mn），m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
2. 空间复杂度：O（n）

同类型题

64-最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。 说明：每次只能向下或者向右移动一步。

解题思路

思路和面试题47-礼物的最大价值解题过程相似，只不过面试题47求的是最大值，该题求最小值，只需要把状态转移方程中的max转换为min即可。

C++实现

class Solution {
          
   
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
          
   
        int m=grid.size(),n=grid[0].size();
        vector<int>cols(n);
        int left=0,up=INT_MAX;
        for(int i=0;i<m;++i)
        {
          
   
            for(int j=0;j<n;++j)
            {
          
   
                if(i>0)
                    up=cols[j];
                if(j>0)
                    left=cols[j-1];
                cols[j]=min(up,left)+grid[i][j];
            }
        }
        return cols[n-1];
    }
};

1. 时间复杂度：O（m×n），m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
2. 空间复杂度：O（n）