一. 函数与标量、向量、矩阵

先上一个最简答的：f与x均是标量

对比一下最难的，f与x均是矩阵

函数矩阵不变，自变量矩阵貌似降成标量了

二. 矩阵求导的本质

本质就是 function 中的每个 f 分别对变元中的每个元素逐个求偏导，只不过写成了向量、矩阵形式而已。

三. 矩阵求导结果的布局

直观上看：

分子布局，就是分子是列向量形式，分母是行向量形式，如 (3) 式中f是列向量形式，分母是行向量形式。如果这里的 function 是实向量函数 f2×1 的话，结果就是 2×3 的矩阵了：

分母布局，就是分母是列向量形式，分子是行向量形式，如 (4) 式f是行向量形式，分母是列向量形式。如果这里的 function 是实向量函数 f2×1 的话，结果就是 3×2 的矩阵了：

貌似最后形状都是由列向量的行数 * 行向量的列数（注意是转置后列数）

函数是实值标量

变元是向量

1.1 行向量偏导形式

1.2 梯度向量形式

变元是矩阵

注意就是一个列向量

2.1 行向量偏导形式（将矩阵变元转为向量变元）

把（5）式列在下面避免影响观感

2.2雅克比矩阵

2.3 梯度向量形式 （将矩阵变元转为向量变元）

同样列出6式

2.4 梯度矩阵形式

函数：矩阵 

变元：矩阵

3.1雅克比矩阵

3式

3.2 梯度矩阵形式

4式

总结： 

谁转置了，就是另一方的布局。另一方的行就优先在前做行，他自己的行就做列。分子转置了，就是分母布局；分母转置了，就是分子布局。

          /*上面主要是定义，下面是实际使用时的计算*/

一. 矩阵的迹

1、定义

2、一些性质

2.1 标量的迹

2.2 线性法则

2.3 转置

2.4 乘积的迹的本质

2.5 交换律

二. 微分与全微分 

多元函数全微分

普通函数：

复合函数：

三. 矩阵的微分

(一）函数：实值

（1）变元：向量

2式：标量的迹就是自己

（2）变元：矩阵

6式：

（二）函数：矩阵，变元：矩阵

四. 计算法则

a. 常数矩阵的矩阵微分

b. 线性法则

c. 乘积法则

上面就是每次就对其中一个矩阵求微分，其他不求，相对位置不变

d. 转置法则

讲了这么多，为什么要用矩阵微分求导呢

再注意一下，防止前面的忘了，求两个矩阵相乘的迹就是两个矩阵对应位置元素相乘再求和

所以目标最终就是写成24式的形式

有3个公式

（一）夹层饼

（二）行列式

（三）逆矩阵

 具体使用