深度学习入门之自动求导（Pytorch）

自动求导

链式法则和自动求导

向量链式法则

标量链式法则 y = f ( u ) , u = g ( x ) ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u ∂ u ∂ x y=f(u),u=g(x) quad {partial y over partial x}={partial y over partial u}{partial u over partial x} y=f(u),u=g(x) ∂x∂y=∂u∂y∂x∂u 拓展到向量

例子1

例子2

自动求导

自动求导计算一个函数在指定值上的导数 它有别于 符号求导 l n [ 1 ] : = D [ 4 x 3 + x 2 + 3 , x ] ln[1]:= D[4x^3+x^2+3, x] ln[1]:=D[4x3+x2+3,x] O u t [ 1 ] = 2 x + 12 x 2 Out[1]= 2x+12x^2 Out[1]=2x+12x2 数值求导 ∂ f ( x ) ∂ x = l i m h − > 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {partial f(x) over partial x }= lim_{h->0}{f(x+h) - f(x) over h} ∂x∂f(x)=limh−>0hf(x+h)−f(x)

计算图

将代码分解成操作子 将计算表示成一个无环图 显示构造 Tensorflow/Theano/MXNet

from mxnet import sym

a = sym.var()
b = sym.var()
c = 2 * a + b
# bind data into a and b later

先定义好公式，再将数值带入

隐式构造 Pytorch/MXNet

from mxnet import autograd, nd

with autograd.record():
	a = nd.ones((2, 1))
	b = nd.ones((2, 1))
	c = 2 * a + b

自动求导的两种模式

反向累积

反向累积总结

构造计算图 前向：执行图，存储中间结果 反向：从相反方向执行图 去除不需要的枝

复杂度

计算复杂度：O(n),n是操作子个数 通常正向和方向的代价类似 内存复杂度：O(n)，因为需要存储正向的所有中间结果

因为要存储所有中间结果，所以特别耗GPU资源

跟正向累积对比： O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度 O(1)内存复杂度

自动求导实现

自动求导

假设我们想对函数 y = 2 x T x y = 2x^Tx y=2xTx 关于列向量 x 求导

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

tensor([0., 1., 2., 3.])

在我们计算 y 关于 x 的梯度之前，我们需要一个地方来存储梯度。

x.requires_grad(True)	# 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)`
x.grad	# 默认值是None

现在让我们计算y。

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

tensor(28.)

通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度

y.backward()
x.grad

tensor([ 0., 4., 8., 12.])

算出来的值应该是 4x，可以验证一下

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

现在让我们计算x的另一个函数

# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

tensor([1., 1., 1., 1.])

深度学习中，我们的目的不是计算微分矩阵，而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。

# 对非标量用`backword`需要传入一个`gradient`参数，该参数指定微分参数
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backword(torch.ones(len(x))
y.sum().backward()
x.grad

tensor([0., 2., 4., 6.])

为什么求导的时候要进行这个sum操作? 梯度只能为标量（即一个数）输出隐式地创建。

将某些计算移动到记录的计算图之外

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach()	# 将参数常数化
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

后期再将一些网络参数固定住的时候，很有用

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

tensor([True, True, True, True])

即使构建函数的计算图需要通过 Python 控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度。

def f(a):
	b = a * 2
	while b.norm() < 1000:
		b = b * 2
	if b.sum() > 0:
		c = b
	else:
		c = 100 * b
	return c

a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

a.grad == d / a

tensor(True)

QA

1. 显示构造和隐式构造的区别？ 显示计算：先给公式再给值 隐式计算：先给值再给公式
2. 为什么深度学习一般对标量求导？ 因为 Loss 大多时候就是标量。