F2[x]上的多项式欧几里得除法
今天来详讲一下教材上的这道题。一步一步求出它的商式和余式。
一开始学的时候，对式子进行展开发现，左右两边并不相等，于是纠结了很久，网上也找不到类似的题目，找不到有效的信息。今天去问了老师，才发现原来这么简单。
首先要明确了解F2域。
F2域里只有两个元素，也就是[0，1]，就是mod2了的一个运算，类比到多项式里就是F2[X].
以上就是F2域里的计算。可以看出，减法与加法都是一样的。再次提醒x+x≠2x。这就是解该题的关键所在。
第一步：
由于f(x)次数大于g(x)的次数，所以将f(x)作为被除多项式，g(x)是除式。
按照我们传统的除法，这样写下来，看紫色部分，对被除式进行降幂处理。
为了除去x^13，我们需要将除式g(x)乘以x^5得到一个多项式，此时商是x^5。然后②式进行F2[x]上的减法（这里加减法都无所谓，因为是一样的）。然后得出x^11+x^4+x^3+1这个式子。发现这个式子的次数比除式g(x)的次数高，所以需要再继续除。
这个时候就是要除掉x^11。为了除掉x^11，我们将除式g(x)乘以x^3，此时商就变成了x^5+x^3。
看红色字体部分，其实就是重复上面紫色的步骤。当减后得出的多项式的次数小于除式时，这次除法就结束了，于是得出商式q0(x)和余式r0(x)。
接下来给出这道题的全部步骤。
得出这两个多项式的最大公因式是1。
【例题①】
