C语言数据结构与算法---图的基础

1.基本定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合

图中数据元素称为顶点（Vettex），任意两个顶点间都可能有关系，定点之间的逻辑关系用边表示，边集可以为空。

2. 各种图的定义

无向边：若顶点 Vi 到 Vj 之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶(Vi,Vj)来表示

无向图：任意两个顶点之间的边都是无向边的图。----（A,B）与 (B,A)是一样的 有向边：若从顶点 Vi 到 Vj 的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧(Arc)，用有序偶<Vi,Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。 弧尾指向弧头 上图G是一个有向图，G={V,E}，其中 V={A,B,C,D}， E={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}

无向边用小括号 ‘()’ 表示,有向边用尖括号 ‘<>’ 表示

简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有**n*(n-1)**条边。 稀疏图：通常认为边或弧数小于n*logn（n是顶点的个数）的图 稠密图：通常认为边或弧数大于或等于n*logn（n是顶点的个数）的图 权：有图的边或弧相关的数 网：带权的图。

3. 图的顶点与边的关系

对于无向图G = (V,E)，如果边(V1,V2)∈E，则称顶点V1和V2互为邻接点(Adjacent)，即V1和V2相邻接。边(V1,V2)依附(incident)于顶点V1和V2，或者说边(V1,V2)与顶点V1和V2相关联。 顶点V的度是和V相关联的边的数目，记为TD(V). 顶点A的度为3 对于有向图G=(V,E)，如果有<V1,V2>∈E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。 以顶点V为头的弧的数目称为V的入度(InDegree)，记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度(OutDegree)，记为OD(V)，因此顶点V的度为TD(V)=ID(V)+OD(V)。 点A的入度是2，出度是1，所以顶点A的度是3

4. 连通图

连通：在无向图中，如果一个顶点到另一个顶点有路径，则称这两个顶点是连通的。 连通图：任意两个顶点都是连通的图。 连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量

注意：连通分量： 首先要是子图，并且子图是要连通的； 连通子图含有极大顶点数； 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

强连通图：在有向图中，对于每一对Vi到Vj都存在路径 强连通分量：有向图中的极大强连通子图。 图1并不是强连通图，以为不存在从D到A的路径，图2是强连通图，而且图2是图1的极大强联通子图

5. 连通图的生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边。 图1是普通图，不是生成树；图2和图3满足 n 个顶点 n-1 条边，是一颗生成树；有 n-1 条边不一定是生成树，如图4

有向树：一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1 入度为0：相当于树的根结点。 其余顶点的入度均为1：树的非根结点的双亲只有一个 图1是一个有向图，去掉一些弧后，可以分解为两颗有向树，如图2，图3，这两颗就是图1有向图的生成森林。