题目

假设有从 1 到 n 的 n 个整数。用这些整数构造一个数组 perm（下标从 1 开始），只要满足下述条件之一 ，该数组就是一个 优美的排列 ：

1、perm[i] 能够被 i 整除 2、i 能够被 perm[i] 整除 给你一个整数 n ，返回可以构造的“优美的排列”的 数量 。

示例

输入：n = 2 输出：2 解释： 第 1 个优美的排列是 [1,2]： - perm[1] = 1 能被 i = 1 整除 - perm[2] = 2 能被 i = 2 整除 第 2 个优美的排列是 [2,1]: - perm[1] = 2 能被 i = 1 整除 - i = 2 能被 perm[2] = 1 整除

输入：n = 1 输出：1

解决方法

从1到n中，任意选取数字构成序列，求这些序列中优美排列的数量。首先，我们使用一个二进制数来表达这些数字中，哪个数字被选取而哪个数字没有被选取。

定义一个长度为n的、由0和1组成的二进制数i，表示从1到n这几个数字的“选取情况”。1表示被使用过，而0表示还没有被使用。例如，101表示第一个和第三个数字被选取，这两个数字1和3按照任意顺序被放在序列的前两位。

定义一个数组dp，其中dp[i]的含义为：“选取情况”为i时，“优美排列”的数量。例如，当i为2时，dp[2]的含义为：“使用情况”为10，第二个数字被采用而第一个数字未被采用，2被放在序列中，优美排列的数量为1.

一共有n个数，那么，当枚举完所有可能的情况时，最终的状态为这n位数全是1。于是，最终状态下的排列总数是，即最终的答案。

接下来，我们来寻找状态转移方程。先求出二进制数i中，1的个数num，表示状态i下的序列中，一共放了多少个数字。例如，当i为110时，序列中放了2和3共两个数字，num为2。

当我们想要计算f[i]时，只需要考虑在序列中前num-1位都已经放置了数的情况下，第num位所放的数字。

假设我们选取状态二进制数中的第j位，此时相当于新加一个1到n之间的数字j，把这个数字放到序列当中。然后看这个数字放在序列的哪个位置上，能够形成“优美排列”。枚举符合“优美排列”的数，对第一位到第num位的每一种位置下，能够形成优美排列的数量进行相加，最终得出f[i]。

代码实现

class Solution {
public:
    int countArrangement(int n) {
        vector<int> dp(1<<n);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1;i < (1<<n);i ++){
//i中1的数量，即序列中有多少个数
            int num = __builtin_popcount(i);
            for(int j = 1;j <= n;j ++){
                //num表示在序列中的位数，j表示数字
                if((i&(1 << (j-1))) && ((j%num==0)||(num%j==0))){
                //if中的第一项表示在状态i中，数字j被选中
                    dp[i] = dp[i] + dp[i - (1 << (j-1))];
                //dp[i ^ (1 << (j-1))]表示还没有选中j时的情况
                }
            }
        }
        return dp[(1<<n)-1]; //表示2的n次方减一
    }
};