题目大意

有一 W × H W imes H W×H 的矩阵，两人博弈，每次可以沿网格水平切割或竖直切割，当切割后出现 1 × 1 1 imes 1 1×1 的格子则获胜。给定 W , H ( 1 ≤ W , H ≤ 200 ) W,H(1le W,Hle 200) W,H(1≤W,H≤200)，问先手必胜还是必败。

题解

博弈论。

显然必胜还是必败只跟当前矩阵的长宽有关，记忆化直接求 sg 函数值。

s g ( w , h ) = m e x { s g ( i , h ) ⊕ s g ( w − i , h ) , s g ( w , j ) ⊕ s g ( w , h − j ) } sg(w,h)=mex{ sg(i,h)oplus sg(w-i,h),sg(w,j)oplus sg(w,h-j)} sg(w,h)=mex{ sg(i,h)⊕sg(w−i,h),sg(w,j)⊕sg(w,h−j)}

但是直接写会挂。

考虑 1 × 1 1 imes 1 1×1 格子这个胜利条件。显然，当一方出现 1 × x 1 imes x 1×x 或 x × 1 x imes 1 x×1 的矩阵后，一次就能切出 1 × 1 1 imes 1 1×1 从而获胜。所以肯定不会让对方出现这两个局面，也即切割时不能切出长或宽为 1 1 1 的矩阵。注意这点即可 AC.

时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2).

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n, m, sg[205][205];
int getsg(int w, int h) {
          
   
    if (w == 1 && h == 1) return sg[w][h] = 0;
    if (sg[w][h] != -1) return sg[w][h];
    int mex[205];
    memset(mex, 0, sizeof(mex));
    for (int i = 2; i <= w / 2 && w - i >= 2; i++) mex[getsg(i, h) ^ getsg(w - i, h)] = 1;//w/2为了加快速度
    for (int i = 2; i <= h / 2 && h - i >= 2; i++) mex[getsg(w, i) ^ getsg(w, h - i)] = 1;
    for (int i = 0; i <= 200; i++)
        if (!mex[i]) {
          
   
            sg[w][h] = i;
            break;
        }
    return sg[w][h];
}
int main() {
          
   
    memset(sg, -1, sizeof(sg));
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
          
   
        if (getsg(n, m)) printf("WIN
");
        else printf("LOSE
");
    }
    return 0;
}

END