【小航的算法日记】二分快速幂
内容摘自英雄哥，以下为Java版
一、概念
二分快速幂
二、模板
请看例题2
三、例题
题：50. Pow(x, n)
实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn ）。
示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10 输出：1024.00000
示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3 输出：9.26100
示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2 输出：0.25000 解释：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
提示：
-100.0 < x < 100.0 -231 <= n <= 231-1 -104 <= xn <= 104
解：
解题思路：快速幂
快速幂（二进制解析）：
对于一个任何十进制正整数 n ，设其二进制为：“bm…b2b1”
二进制转十进制： n = 2 0 ∗ b 1 + 2 1 ∗ b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 m − 1 ∗ b m n=2^0*b_1+2^1*b_2+cdot cdot cdot +2^{m-1}*b_m n=20∗b1+21∗b2+⋅⋅⋅+2m−1∗bm幂的二进制展开： x n = x 2 0 ∗ b 1 + 2 1 ∗ b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 m − 1 ∗ b m = x 2 0 ∗ b 1 x 2 1 ∗ b 2 ⋅ ⋅ ⋅ x 2 m − 1 x^n=x^{2^0*b_1+2^1*b_2+cdot cdot cdot +2^{m-1}*b_m}=x^{2^0*b_1}x^{2^1*b_2}cdot cdot cdot x^{2^{m-1}} xn=x20∗b1+21∗b2+⋅⋅⋅+2m−1∗bm=x20∗b1x21∗b2⋅⋅⋅x2m−1
快速幂(二分推导)： x n = { ( x 2 ) n / 2 , n 为偶数 x ( x 2 ) n / 2 , n 为奇数 x^n=left{ egin{array}{l} left( x^2 ight) ^{n/2}, n ext{为偶数}\ xleft( x^2 ight) ^{n/2}, n ext{为奇数}\ end{array} ight. xn={ (x2)n/2, n为偶数x(x2)n/2, n为奇数
AC代码：
class Solution {
public double myPow(double x, int n) {
if(x == 0.0f) return 0.0d; // 底数为0
long b = n; // 防止负数转正数溢出
if(b < 0) {
b = -b;
x = 1/x;
}
double res = 1.0;
while(b > 0) {
if((b & 1) != 0) res *= x;
x *= x;
b >>= 1;
}
return res;
}
}
题：372. 超级次方
你的任务是计算 ab 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。
示例 1：
输入：a = 2, b = [3] 输出：8
示例 2：
输入：a = 2, b = [1,0] 输出：1024
示例 3：
输入：a = 1, b = [4,3,3,8,5,2] 输出：1
示例 4：
输入：a = 2147483647, b = [2,0,0] 输出：1198
提示：
1 <= a <= 231 - 1 1 <= b.length <= 2000 0 <= b[i] <= 9 b 不含前导 0
解：
解题思路：快速幂
例子：
- aK = 992345
- 99K = 99234*10+5
- 99234*10+5 = 99234*10 * 995
- 99234*10 * 995 = (99234)10 * 995
AC代码：
class Solution {
int MOD = 1337;
public int superPow(int a, int[] b) {
return dfs(a, b, b.length - 1);
}
int dfs(int a, int[] b, int u) {
if(u == -1) return 1;
return qpow(dfs(a, b, u - 1), 10) * qpow(a, b[u]) % MOD;
}
// 快速幂
int qpow(int a, int b) {
int ans = 1;
a %= MOD;
while(b > 0) {
if((b & 1) != 0) ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return ans;
}
}
