海明码（汉明码）详解

海明码简介

海明码是由Richard Hanming于1950年提出的，它具有一位纠错能力。

海明码的计算

设欲检测的二进制代码为n位，为使其具有纠错能力，需要添加k位检测位，组成n+k位的代码。为了能准确对错误定位以及指出代码没错，新添加的检测位数k应满足：2k ≥ n+k+1 由此关系可求得不同代码长度n所需要检测位的位数k。

海明码的编码规则如下： 设k个校验位为Pk,Pk-1,·····,P1， n个数据位为 Dn-1,Dn-2,·····,D1,D0，对应的海明码为Hn+k,Hn+k-1,······,H1，那么 （1）Pi在海明码的第2i-1位置，比如P1，21-1=1，所以在H1的位置。 （2）海明码中的任何一位都是由若干个校验位来校验的。其对应关系如下：被校验的海明位的下标等于所有参与校验该为的校验位的下标之和，而校验位由自身校验。比如H12，下标为12，等于8+4，所以是海明码的第8、第4位校验位来检测的。

举例

对于8位的数据位，进行海明校验需要4个校验位（2k ≥ n+k+1，24 ≥ 8+4+1）。令数据位为D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0，校验位为P4,P3,P2,P1，形成的海明码为H12,H11,····,H1，则编码过程如下： （1）确定D与P在海明码中的位置

（2）计算校验位 这里主要讲一种简易的计算校验位的方法： 第一个校验位P1是位于H1的位置，它检验的位置是H1,H3,H5,H7,H9,H11，也就是读一位，隔一位，··· 第二个校验位P2是位于H2的位置，它检验的位置是H2,H3,H6,H7,H10,H11，也就是读两位，隔两位，··· 第三个校验位P3是位于H4的位置，它检验的位置是H4,H5,H6,H7,H12，也就是读四位，隔四位，··· 第四个校验位P4是位于H8的位置，它检验的位置是H8,H9,H10,H11,H12，也就是读八位，隔八位，··· 以此类推，就可以轻易得知，第n位校验位校验的海明位是，从自身开始，读2n-1位，隔2n-1位，·····，直到读到尽头。

知道校验位后 ，对校验位对应的数据进行异或运算（默认是偶校验），即 P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6 P2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6 P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7 P4=D4⊕D5⊕D6⊕D7

若采用奇校验，则将各校验位的偶校验值取反即可。

（3）检验错误。对使用海明码的数据进行校验差错检测很简单，根据上面的方法，我们可以很轻易得知每个校验位负责检测的海明位，只要对其进行异或运算即可。 G4=P4⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7 G3=P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7 G2=D2⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6 G1=D1⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6

若采用偶校验，则G4G3G2G1全为0是表示数据没有错误，奇校验应全为1，否则即出现了错误。当发生错误时，将G4G3G2G1的值转化为十进制即可知道发生错误的位置，如G4G3G2G1=0110，即表示H6这个位置的数据发生了错误，只要将其取反即可纠正。