考研高数——积分中值定理证明

积分中值定理：设 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，则 ∃ ξ ∈ [ a , b ] exists xi in [a, b] ∃ξ∈[a,b]，使得： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) int_a^b f(x) mathrm{d}x = f(xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

【证明】

解法一：

原式 ⇒ Rightarrow ⇒ f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(xi) = frac{int_a^bf(x) mathrm{d}x}{b-a} f(ξ)=b−a∫abf(x)dx

f ( x ) 在 [ a , b ] f(x) 在 [a, b] f(x)在[a,b] 上连续，根据最值定理，

m ⩽ f ( x ) ⩽ M m leqslant f(x) leqslant M m⩽f(x)⩽M

其中， m m m， M M M，分别为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的最小值和最大值，则有

∫ a b m d x ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b M d x int_a^bm mathrm{d}x leqslant int_a^bf(x) mathrm{d}x leqslant int_a^bM mathrm{d}x ∫abmdx⩽∫abf(x)dx⩽∫abMdx

根据积分就是面积的几何意义，有

m ( b − a ) ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ M ( b − a ) m(b-a) leqslant int_a^bf(x) mathrm{d}x leqslant M(b-a) m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)

⇒ m ⩽ ∫ a b f ( x ) d x b − a ⩽ M Rightarrow m leqslant frac{int_a^bf(x) mathrm{d}x}{b-a} leqslant M ⇒m⩽b−a∫abf(x)dx⩽M

根据介值定理， ∃ ξ ∈ [ a , b ] exists xi in [a, b] ∃ξ∈[a,b]，使得

f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(xi) = frac{int_a^bf(x) mathrm{d}x}{b-a} f(ξ)=b−a∫abf(x)dx

证毕。

解法二：

由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，根据原函数存在定理，存在

F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = int_a^x f(t) mathrm{d}t F(x)=∫axf(t)dt

由牛顿-莱布尼茨公式及拉格朗日中值定理，有

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ′ ( ξ ) ( b − a ) = f ( x ) ( b − a ) int_a^bf(x) mathrm{d}x = F(b) - F(a) = F(xi)(b - a) = f(x)(b - a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a)=f(x)(b−a)

其中， ξ ∈ ( a , b ) xi in (a, b) ξ∈(a,b)

证毕。