判断并求出两个圆的交点（平面几何）

参考Knut Andreas Lie的Unstructured PEBI-grids Adapting to Geological Features in Subsurface Reservoirs这篇文章，用C++实现了判断并求圆交点的函数。

——式（1）

对于圆C1，可以看作是圆C0偏移距离d得到。根据勾股定理可以得到上述2个式子。其中h⊥d，a是C0到垂足的距离。

如果d==0或R0==R1，说明圆C0和C1的交点为空，或者是重合的。

式（1）转换成式（2），将a和h表示出来：

——式（2）

当 a² ＞ R0² 时，没有交点；

当 a² == R0² 时，有一个交点，为两圆的切点；

当 a² < R0² 时，有2个交点；

交点用向量方法来求：

首先，定义C0→C1的单位方向向量

其次，定义是n||的单位法向量，则交点可以由下列式子计算

——式（3）

实现代码如下，根据返回的容器大小可以判断相交情况，没有交点返回空容器

/*
1.Point2D是自定义的点类，
例Point2D p;
p[0] == 1；//表示横坐标为1
p[1] == 2; //表示纵坐标为2
2. double dist(const Point2D &p1,const Point2D &p2)//求出返回2个点的距离；

*/

vector<Point2D> intersectionofcircles(const Point2D &C1, const double &R1, const Point2D &C2, const double &R2)
{
	vector<Point2D> i_Result; i_Result.clear();
	double d = dist(C1, C2);//圆心距d
	if (abs(d) < 1e-3){}//重合，返回空
	else//不重合，计算a
	{
		double a = (d*d + R1*R1 - R2*R2) / (2 * d);
		if (abs(a*a-R1*R1)<1e-3)//相切
		{
			Point2D target;
			double t = R1 / d;
			target[0] = C1[0] * (1 - t) + C2[0] * t;
			target[1] = C1[1] * (1 - t) + C2[1] * t;
			i_Result.push_back(target);
		}
		else if (a*a<R1*R1)//相交
		{
			double h = pow((R1*R1 - a*a), 0.5f);
			//C1->C2的单位方向向量计算
			Point2D Dv((C2[0] - C1[0])/d, (C2[1] - C1[1])/d);
			//C1->C2的单位法向量计算
			Point2D Nv;
			if (Dv[0]==0)
			{
				Nv[0] = 1;
				Nv[1] = 0;
			}
			else if (Dv[1] == 0)
			{
				Nv[0] = 0;
				Nv[1] = 1;
			}
			else
			{
				Nv[0] = -1 / Dv[0];
				Nv[1] = 1 / Dv[1];
				double unify = sqrt(Nv[0]*Nv[0]+Nv[1]*Nv[1]);
				Nv[0] = Nv[0] / unify;
				Nv[1] = Nv[1] / unify;
				Point2D p1, p2;
				p1[0] = C1[0] + a*Dv[0] + h*Nv[0];
				p1[1] = C1[1] + a*Dv[1] + h*Nv[1];
				p2[0] = C1[0] + a*Dv[0] - h*Nv[0];
				p2[1] = C1[1] + a*Dv[1] - h*Nv[1];
				i_Result.push_back(p1);
				i_Result.push_back(p2);
			}
		}
		else//a*a>R1*R1,相离
		{
		}
	}
	return i_Result;
}

在MFC中可视化结果如下黑点为圆心，粗黑线为半径，红点为交点

[1]Unstructured PEBI-grids Adapting to Geological Features in Subsurface Reservoirs. 2016.