行列式与矩阵的初等变换总结
行列式
对 n n n阶行列式，有以下5种变换：
- 转置后，值不变.即 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣.
- 某行有公因数 k k k，可以把 k k k提到行列式外. ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA|=k^n|A| ∣kA∣=kn∣A∣
- 两行互换行列式变号.
- 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式的和. ∣ a 1 + b 1 a 2 + b 2 c c ∣ = ∣ a 1 a 2 c c ∣ + ∣ b 1 b 2 c c ∣ left| egin{matrix} a_1+b_1& a_2+b_2\ c& c\ end{matrix} ight|=left| egin{matrix} a_1& a_2\ c& c\ end{matrix} ight|+left| egin{matrix} b_1& b_2\ c& c\ end{matrix} ight| ∣∣∣∣a1+b1ca2+b2c∣∣∣∣=∣∣∣∣a1ca2c∣∣∣∣+∣∣∣∣b1cb2c∣∣∣∣
- 某行的 k k k倍加至另一行，行列式的值不变.
矩阵
对 m × n m imes n m×n矩阵，下列三种变换：
- 用非零常数 k k k乘矩阵的某一行.
- 互换矩阵某两行(列)的位置.
- 把某行(列)的 k k k倍加至另一行(列）.
