求一个数的所有因数+质因数分解【数论】

先附上所有因数的求法：

我的做法：是今天误打误撞写出来的；

然后，我上网找居然没有人写一个高效一点的，我这个做法其实就是.

不一定要会比根号N快，但是

模拟求所有因子个数的做法：

大家知道为什么所有因子的个数为：

设P1，P2……Pn都是数的质因子，

设C1，C2……Cn是数的质因子的个数：

Ans=（C1+1）*（C2+1）*……*（Cn+1）

大家想知道模拟一下就知道为什么了。

比如120=2*2*2*3*5；

那么Ans=（3+1）*（1+1）*（1+1）

要是求它的因子那么就是：

（1+2+4+8）*（1+3）*（1+5）

=（1+2+4+8）+（3+6+12+24）+（5+10+20+40）+（15+30+60+120）

其中所有因数为：

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 20 , 24 , 30 , 40 , 60 , 120

因数之和就是

=（1+2+4+8）+（3+6+12+24）+（5+10+20+40）+（15+30+60+120）

大家琢磨琢磨为什么是这样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
typedef long long ll;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a;
        }
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
/*
 (2*3*5*7*11)*(13*17*19*23*29)*(31*37*41*43*47)
=614,88978,25884,91410
    前15个质数相乘得到一个 6 e18的数字
*/
vector<ll>v[20];
map<ll,int>Vis;
ll a[N],cnt,Type;
void dfs(ll x,int step){
    if(Vis[x]==0&&step==Type){
        Vis[x]=1;
        a[cnt++]=x;
        return ;
    }
    for(int i=0;i<v[step].size();i++){
        dfs(x*v[step][i],step+1);
    }
}
void solve(){
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    cnt=0;
    for(int i=0;i<20;i++){
        v[i].clear();
    }
    Type=0;
    Vis.clear();
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            int D=0;
            while(n%i==0){
                D++;
                n/=i;
            }
            for(int j=0;j<=D;j++){
                v[Type].push_back(qpow(i,j));
            }
            Type++;
        }
    }
    if(n!=1){
        v[Type].push_back(1);
        v[Type].push_back(n);
        Type++;
    }
    dfs(1,0);
    sort(a,a+cnt);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        printf("%lld%c",a[i],i==cnt-1?
: );
    }
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}

归纳总结一下：质因数分解更快的做法：

1589: 题目名称:分解质因数

时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB

题目描述

求出区间[a,b]中所有整数的质因数分解。

输入

输入两个整数a，b。

输出

每行输出一个数的分解，形如k=a1*a2*a3...(a1<=a2<=a3...，k也是从小到大的)(具体可看样例)

样例输入

3 10

样例输出

3=3

4=2*2

5=5

6=2*3

7=7

8=2*2*2

9=3*3

10=2*5

提示

先筛出所有素数，然后再分解。

数据规模和约定

2<=a<=b<=10000

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100;
typedef long long ll;
ll a[N],cnt;
void solve(ll n){
    ll tn=n;
    cnt=0;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            int D=0;
            while(n%i==0){
                D++;
                n/=i;
                a[cnt++]=i;
            }
        }
    }
    if(n!=1){
        a[cnt++]=n;
    }
    sort(a,a+cnt);
    printf("%lld=",tn);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        printf("%lld%c",a[i],i==cnt-1?
:*);
    }
}
int main()
{
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=n;i<=m;i++){
        solve(i);
    }
    return 0;
}