能量项链(蓝桥杯)--区间dp

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题意:

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10*2*3=60。我们要求得是这一串珠子聚合后能释放能量的最大值。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

思路:

首先要将环形变成线性，将数组复制一遍，第1~n个数放到第n个数的后面。求得区间dp值后枚举每个长度为n的区间找到最大值。

for(int i=1;i<=n;i++){
	ma=max(ma,dp[i][i+n-1]);
}

区间dp:

三层循环

第一层枚举长度

第二层枚举起始点

第三层枚举分隔点

有关四边形不等式: 我们知道石子合并问题可以用四边形不等式优化，其状态转移方程为 矩阵连乘问题不能直接用四边形不等式优化，其状态转移方程为 W[i][j]是提前预处理好的一个二维数组，其与枚举的分割点无关。 而p[i - 1] * p[k] * p[j]中p[i - 1] * p[j]与分割点无关，但p[k]却跟枚举的分割点位置有关，不能保证满足四边形不等式的条件。

代码:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=210;
int n,p[N];
int dp[N][N];
int s[N][N];
void solve(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
		p[n+i]=p[i];
	}	
	p[2*n]=p[0];

	for(int r=2;r<=n;r++){
		for(int i=1;i<=2*n-r+1;i++){
			int j=i+r-1;
			dp[i][j]=dp[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
			s[i][j]=i;
			for(int k=i+1;k<j;k++){
				int tmp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(tmp>dp[i][j]){
					dp[i][j]=tmp;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	int ma=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ma=max(ma,dp[i][i+n-1]);
	}
	printf("%d
",ma);
}

int main(){
	solve();
}