旋转矩阵(Rotation Matrix)

2.自由度 用于描述物体的状态。如机器人在平面上的状态可以通过在x，y轴上的移动以及转动来描述，这里我们就称这三个状态为三个自由度。对于空间上的物体，我们可以通过xyz轴上面的变化来描述它的移动，绕xyz三个轴的变化来描述它的转动（如roll pitch yaw），这里我们称有六个自由度。这里还可以通过微分的形式来进一步描述物体的的状态，如对位置的微分，可以得到速度，速度的微分可以得到加速度；对角度的微分得到角速度，角速度的微分得到角加速度。 自由度可以类比向量空间的基来理解。

3.世界坐标系与body坐标系 世界坐标系就是用做参考的坐标系。body坐标系就是用于研究的坐标系。

4.旋转矩阵（以三维坐标系为例） 将body坐标系的三个xyz轴相对于世界坐标的三个xyz轴的投影用矩阵的形式表示，如图，（假设世界坐标系为A，body坐标系为B）因为三个元素乘以三个元素，所以可以得到九个元素。 我们容易发现它和它的转置矩阵相等，同时因为世界坐标系与body坐标系的xyz三个轴都两两互相垂直，所以我们可以发现它的逆矩阵和它的转置矩阵的乘积为E，所以它的转置矩阵和它的逆矩阵相等。 从上面我们可以得到旋转矩阵的的9个元素中，只有三个是独立的（因为世界坐标系默认为已知量）。所以我们称旋转矩阵有三个自由度。

5.旋转矩阵的作用举例 回到问题的引出我们可以通过旋转矩阵和向量来分别描述物体的旋转和移动，移动相对比较方便描述，那么我们如何描述它的转动状态呢？下面将举出三个在数学上的应用举例 1） 描述世界坐标系和body坐标系的关系，在旋转矩阵的介绍当中已经有了 2） 已知某个向量在body坐标系上的描述，求出该向量在世界坐标系上的描述（以世界坐标系为A坐标系，body坐标系为B坐标为例）我们可以很方便的得到他们之间的关系为：向量在世界坐标系下的表示为在body坐标系下的表示向量左乘旋转矩阵，如图（P就是向量） ，证明直接展开即可 3） 描述body坐标系相对于世界坐标系的转动，利用对于旋转矩阵的定义，我们可以很轻易的得到，body坐标系相对于世界坐标系的xyz的轴的转动的旋转矩阵，如图（图源百度）