现代复习——第5章相似矩阵及二次型
&1向量的内积,长度,及正交性
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x= left( egin{matrix} x_1\ x_2\ vdots\ x_n end{matrix} ight) x=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) y= left( egin{matrix} y_1\ y_2\ vdots\ y_n end{matrix} ight) y=⎝⎜⎜⎜⎛y1y2⋮yn⎠⎟⎟⎟⎞ [ x , y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n [x,y]=x_1y_1+x_2y_2+cdots+x_ny_n [x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn 称之为向量x,y的内积 内积具有一下性质 $$ 1.[x,y]=[y,x] 2.[lambda x,y]=lambda[x,y] 3.[x+y,z]=[x,z]+[y+z] $ 施瓦兹不等式 [ x , y ] 2 ⩽ [ x , x ] [ y , y ] [x,y]^2 leqslant [x,x][y ,y] [x,y]2⩽[x,x][y,y] 范数 ∥ x ∥ = [ x , x ] = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 left |x ight |= sqrt {[x,x]}=sqrt {x_1^2+x_2^2+cdots+x_n^2} ∥x∥=[x,x] =x12+x22+⋯+xn2 ∥ x ∥ left |x ight | ∥x∥称为n维向量x的长度 向量的长度有以下性质
- 非负性 当x≠0时,||x||>0时,||x||>0,当x=0时,||x||=0
- 齐次性 ||λx||=|λ| ||x|| 定义:当x≠0&&≠0时,θ=arccos [ x , y ] ∥ x ∥ ∥ y ∥ frac{[x,y]}{|x||y|} ∥x∥∥y∥[x,y] 定理1:诺n维向量是a1…ar是一组两两正交的非零向量,则a1…ar线性无关 标准正交基:设n维向量e1…er是向量空间V的一个基,如果e1…er两两相交,且都是单位向量,则e1…er是V的一个标准基 设a1…ar是向量空间v的一个基,要求V的一个标准基,也就是找一组两两相交的单位向量,e1…er使得e1…er与a1…ar等价,这个问题称之为及a1…ar的标准正交化. 可以用下面的方法正交化 b = a 1 b r = a r − [ b 1 , a r ] [ b 1 , b 1 b 1 − ⋯ − [ b r − 1 , a r ] [ b r , b r ] e r = b 1 ∥ b r ∥ b_=a_1\ b_r=a_r-frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1}b_1-cdots-frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_r,b_r]}\ e_r=frac {b1}{|br|} b=a1br=ar−[b1,b1[b1,ar]b1−⋯−[br,br][br−1,ar]er=∥br∥b1 上述从无关向量组a1…ar到处正向向量组b1,b2的过程称为施密特正交化,(对任何b1…bk,[1≤k≤r]),向量组皆等价 正角阵:ATA=E(即A-1=AT),则称A为正交矩阵 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位矩阵,且两两正交 A为正交矩阵,A-1=AT也是正交矩阵,且|A|=-1或(-1) A和B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵 定义5:诺P为正交矩阵,则线性变换y=Px称之为正交变换
&2方阵的特征值与特正向量
定义6:设A是n皆方阵,如果数λ鱼n维非零向量x让关系式满足:Ax=λx,则称数λ是矩阵A的特征值,非零向量x称为A对应与特征值λ的特征向量 也可以写成(A-λE)x=0即矩阵A的特征方程,记作λ,f(λ)称之为矩阵A的特征多项式,A是特征多项式的解 λ2是A2的特征值 当A可逆时, 1 λ 是 A − 1 frac{1}{lambda}是A^{-1} λ1是A−1的特征值 A*=|A|A-1,|A|=λ1…λn 定理2设λ1…λn是方阵A的m个特征值,p1 …pn是与之对应的特征向量,如果λ1…λn各不相等,则p1 …pn线性无关
