第十二届蓝桥杯省赛JavaB组 试题 G: 最少砝码

【问题描述】

你有一架天平。现在你要设计一套砝码，使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 N 的正整数重量。 那么这套砝码最少需要包含多少个砝码？ 注意砝码可以放在天平两边。

【输入格式】

输入包含一个正整数 N。

【输出格式】

输出一个整数代表答案。

【样例输入】

7

【样例输出】

3

【样例说明】

3 个砝码重量是 1、4、6，可以称出 1 至 7 的所有重量。 1 = 1； 2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)； 3 = 4 − 1； 4 = 4； 5 = 6 − 1； 6 = 6； 7 = 1 + 6； 少于 3 个砝码不可能称出 1 至 7 的所有重量。

代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
          
   
	public static void main(String[] args) {
          
   
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		sc.close();
		int weight = 1;
		int count = 1;
		int total = 1;
		while (total < n) {
          
   
			count++;
			weight *= 3;
			total += weight;
		}
		System.out.println(count);
	}
}

解析

结果应该是最少的砝码数量 首先，如果要称的重量为1的话，只能选择重量为1的砝码，1是必选的一个砝码。

然后再称比1重的，反正都是要再加砝码，那我们为何不选一个能称的重量尽可能大的呢。 选1、2的砝码可以满足1=1，2=2，1+2=3 选1、3的砝码可以满足1=1，2=3-1，3=3，4=3+1 选1、4的砝码可以满足1=1，2=？无法称2，不合题意 因此我们选择的砝码组合是1、3，此时我们可以称的最大重量为4

当我们还需要再增加砝码时 同理可得 选1、3、9的组合可以满足小于等于13（13=1+3+9）的所有重量

从中可以发现一个规律，当我们需要第三个砝码是，前两个砝码（1、3）满足的最大重量已经是4了，下一个要满足的重量是5，我们遵循砝码尽可能大的原则，选择的第三个砝码的重量满足的条件是：它减去 已经可以称得的最大重量 可以得到 下一个需要称的重量。也就是weight - 4 = 5，可得weight为9

再往下推，可以得到下面的表格

到此已经找到规律，可以写出这道题的代码了 表格的三列分别对应了

count++;		//count=count+1
weight*=3;		//weight=weight*3
total+=weight;	//total=total+weight

其中总重量是当前所有砝码之和，因此必须先乘3，后加到总重量里，除此之外，三行代码的顺序可调换

如果想证明的话，可以发现，取第三个砝码是weight - 4 = 5，要求的下一个重量5是总重量+1，即下一个砝码重量是当前总重量*2+1，nextWeight = total * 2+1，也可以表示为要求的下一个砝码重量weight=previousTotal * 2 + 1 证明第count次增加的砝码都是3的count-1次方

当count=1时，砝码只有一个，重量为1， 3 c o u n t − 1 3^{count-1} 3count−1=1

当count=2时，砝码组合为1、3，是首项为1，公比为3的等比数列

设count=k（k>=2）时,砝码组合是一个首项为1公比为3等比数列，末项为 3 c o u n t − 1 3^{count-1} 3count−1，则total= 3 c o u n t − 1 2 frac{3^{count}-1}{2} 23count−1

则当count=k+1时，第k+1个砝码的重量 weight = previousTotal * 2+1 = 3 c o u n t − 1 2 frac{3^{count}-1}{2} 23count−1 * 2 + 1 = 3 c o u n t 3^{count} 3count，此时砝码组合是一个首项为1公比为3的等比数列，末项为 3 c o u n t 3^{count} 3count