第五届蓝桥杯省赛C++B组 地宫取宝

标题：地宫取宝 X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。 地宫的入口在左上角，出口在右下角。 小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。 走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。 当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。 请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】 输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12) 接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值 要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入： 2 2 2 1 2 2 1 程序应该输出： 2

再例如，输入： 2 3 2 1 2 3 2 1 5 程序应该输出： 14

资源约定： 峰值内存消耗 < 256M CPU消耗 < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。 所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。 注意: main函数需要返回0 注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。 注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路：记忆化搜索，用dp[x][y][num][val]表示在坐标(x,y)时拿了num件宝贝并且宝贝中价值最大的为val。用一个二维数组map[x][y]存下地图，并且将他们都加一，因为宝贝的价值可以为0，不然在之后的比较中会出现问题。然后就是要列出状态转移方程，这里我们是要把后面的情况种数不断的往前更新，所以当map[x][y]>val时，dp[x][y][num][val]=dp[x+1][y][num+1][map[x][y]]+dp[x][y+1][num+1][map[x][y]]+dp[x+1][y][num][val]+dp[x][y+1][num][val]；当map[x][y]<=val时，dp[x][y][num][val]=dp[x+1][y][num][val]+dp[x][y+1][num][val]。找不到我当时参考代码的那个博客了，这里就放一个我觉得讲的比较好的博客作参考吧~

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>  
#include<set>
using namespace std;

long long dp[55][55][15][15];
int map[55][55];
int m, n, k;

void dfs(int x, int y, int num, int val)
{
	if (dp[x][y][num][val] != -1)
		return;
	dp[x][y][num][val] = 0;
	if (x == m && y == n && num == k)
	{
		dp[x][y][num][val] = 1;
		return;
	}
	if (map[x][y] > val && num < k)
	{
		dfs(x, y, num + 1, map[x][y]);
		dp[x][y][num][val] += dp[x][y][num + 1][map[x][y]];
		dp[x][y][num][val] %= 1000000007;
	}
	if (x < m)
	{
		dfs(x + 1, y, num, val);
		dp[x][y][num][val] += dp[x + 1][y][num][val];
		dp[x][y][num][val] %= 1000000007;
	}
	if (y < n)
	{
		dfs(x, y + 1, num, val);
		dp[x][y][num][val] += dp[x][y + 1][num][val];
		dp[x][y][num][val] %= 1000000007;
	}
}
int main()
{
	cin >> m >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			cin >> map[i][j];
			map[i][j]++;
		}
	}
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	dfs(1, 1, 0, 0);
	cout << dp[1][1][0][0] << endl;
	return 0;
}