luogu1280：尼克的任务：线段最小覆盖问题

该题是luogu试炼场的2-16：T3

题目大意

1. 知道尼克的工作时间是n分钟，有m个任务；
2. 知道每个任务的开始节点s，也知道持续时间；
3. 如果同一个节点有多任务开始，必选一个；
4. 如果正在做任务，无视新任务；
5. 问：最大的休息时间。

题目分析

线性dp的经典线段最小覆盖问题，等价于以下逻辑：

1. 有一个长度为n的数轴，有m根木棍，知道木棍的起始位置s和长度；
2. 同一个位置只能放一根木棍，如果一个起始位置有多根木棍可选，必须选一根；
3. 问满足条件地选了木棍之后，剩余的空间尽可能大的话，是多少。

思路分析

DP的解题套路，问什么设什么：f[i]表示 从 i 时间开始，能休息的最大时间； 因为任务是有固定的开始时间和结束时间的，必然用到排序。但是排序的关键字是用s还是e呢？

思路1：从前往后，贪心

1. 如果当前时间节点 i；
2. 无任务，则可以多休息一分钟；
3. 如果有任务可选，则选时间较少的任务。
4. 此思路显然不是最优解，因为在做某个较短的任务的时候，可能错过了后面更短的任务；

DP思路2：倒推分析

1. 如果从前往后是贪心，则尝试一下从后往前分析；
2. 当前节点 i 最大休息的时间 f[i]，与从i节点开始的任务有关：
3. 如果当前没任务，f[i]=f[i+1]+1：又多休息了一秒；
4. 如果当前有任务，f[i]等于任务结束的 f[e]（因为做任务的时间是不能休息的）；
5. 只要枚举每个时间的所有任务，就可以更新出当前时间点能休息的最大值。
6. 代码中用到一个非常巧妙的方法查找每个时间点的任务数量，首先任务排序按照关键字s，从大到小排序。用k表示当前询问的任务编号，因为是逆推询问，所以每次必然会刚好问完时间节点 i 开始的全部任务。
7. f[1]是最终答案。

代码：

//luogu1280：尼克的任务 
//解题思路：
//1 用b数组统计出，每个时间点的任务数； 
//2 以开始点为关键字，对任务排序（从后往前排）
//3 从后往前扫描：
//	3.1如果当前没有任务可做，休息时间是下一秒的时间+1:f[i]=f[i+1]+1 ;
//	3.2如果当前有任务做，任务一定是对应次数的，用k来标号(这是个很巧妙的计数器);
//	   f[i]如果开始做任务，那么任务结束的时间的f值，就是f[i]值。
//4 f[1]是答案。 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mx=10005;
struct nod{int s,e;}a[mx];
int f[mx];//f[i]表示：从i时刻开始，最多休息多久 
int b[mx],n,m;

bool cmp(nod x,nod y) { return x.s>y.s; }
int maxx(int x,int y) { return x>y?x:y; }
int main()
{
	memset(f,0,sizeof(f));memset(b,0,sizeof(b));
	scanf("%d %d",&n,&m);

	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&a[i].s,&a[i].e);
		a[i].e+=a[i].s;
		b[a[i].s]++;//记录一个时间点开始的工作有多少个 
	}
	sort(a+1,a+1+m,cmp);//按开始时间，从后往前排 
	 
	int k=0;//记录当前要用的任务标号
	 
	for(int i=n;i>=1;i--)//从后往前扫 
	{
		if(b[i]==0)//当前无新任务可以开始，休息 
		{
			f[i]=f[i+1]+1;//又休息多了1秒 
		}
		else//i时刻有新任务，比较选择哪个任务 
		{
			for(int j=1;j<=b[i];j++)
			{
				f[i]=maxx(f[a[++k].e],f[i]);//比较选择哪个任务，能休息更多 
			}
		} 
	}
	printf("%d",f[1]); 
	return 0;
}