第一类换元法（凑微分法）

前置知识：

第一类换元法（凑微分法）

对于函数 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)根据复合函数的求导法则， d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=f(g(x))cdot g(x) dxd[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)

于是 ∫ f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = f ( g ( x ) ) + C int f(g(x))cdot g(x)dx=f(g(x))+C ∫f′(g(x))⋅g′(x)dx=f(g(x))+C

令 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)，因为 ∫ f ′ ( u ) d x = f ( u ) + C int f(u)dx=f(u)+C ∫f′(u)dx=f(u)+C

则在求 ∫ f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) int f(g(x))cdot g(x) ∫f′(g(x))⋅g′(x)时，可以将其变换为 ∫ f ′ ( u ) d u int f(u)du ∫f′(u)du，求出结果 f ( u ) + C f(u)+C f(u)+C后再将 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)代入： ∫ f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) = ∫ f ′ ( u ) d u = f ( u ) + C = f ( g ( x ) ) + C int f(g(x))cdot g(x)=int f(u)du=f(u)+C=f(g(x))+C ∫f′(g(x))⋅g′(x)=∫f′(u)du=f(u)+C=f(g(x))+C

这里涉及到。

以上就是第一类换元法，又称凑微分法。

常见凑微分公式

∫ f ( a x + b ) d x = 1 a f ( a x + b ) d ( a x + b ) int f(ax+b)dx=dfrac 1af(ax+b)d(ax+b) ∫f(ax+b)dx=a1f(ax+b)d(ax+b)

∫ f ( a x n + b ) x n − 1 d x = 1 n a ∫ f ( a x n + b ) d ( a x n + b ) int f(ax^n+b)x^{n-1}dx=dfrac{1}{na}int f(ax^n+b)d(ax^n+b) ∫f(axn+b)xn−1dx=na1∫f(axn+b)d(axn+b)

∫ f ( 1 x ) 1 x 2 d x = − ∫ f ( 1 x ) d ( 1 x ) int f(dfrac 1x)dfrac{1}{x^2}dx=-int f(dfrac 1x)d(dfrac 1x) ∫f(x1)x21dx=−∫f(x1)d(x1)

∫ f ( x ) 1 x d x = 2 ∫ f ( x ) d ( x ) int f(sqrt x)dfrac{1}{sqrt x}dx=2int f(sqrt x)d(sqrt x) ∫f(x )x 1dx=2∫f(x )d(x )

∫ f ( ln ⁡ x ) 1 x d x = ∫ f ( ln ⁡ x ) d ( ln ⁡ x ) int f(ln x)dfrac 1xdx=int f(ln x)d(ln x) ∫f(lnx)x1dx=∫f(lnx)d(lnx)

∫ f ( e x ) e x d x = ∫ f ( e x ) d ( e x ) int f(e^x)e^xdx=int f(e^x)d(e^x) ∫f(ex)exdx=∫f(ex)d(ex)

∫ f ( sin ⁡ x ) cos ⁡ x d x = ∫ f ( sin ⁡ x ) d ( sin ⁡ x ) int f(sin x)cos xdx=int f(sin x)d(sin x) ∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)

∫ f ( cos ⁡ x ) sin ⁡ x d x = − ∫ f ( cos ⁡ x ) d ( cos ⁡ x ) int f(cos x)sin xdx=-int f(cos x)d(cos x) ∫f(cosx)sinxdx=−∫f(cosx)d(cosx)

∫ f ( tan ⁡ x ) sec ⁡ 2 x d x = ∫ f ( tan ⁡ x ) d ( tan ⁡ x ) int f( an x)sec^2 xdx=int f( an x)d( an x) ∫f(tanx)sec2xdx=∫f(tanx)d(tanx)

∫ f ( cot ⁡ x ) csc ⁡ 2 x d x = − ∫ f ( cot ⁡ x ) d ( cot ⁡ x ) int f(cot x)csc^2 xdx=-int f(cot x)d(cot x) ∫f(cotx)csc2xdx=−∫f(cotx)d(cotx)

∫ f ( sec ⁡ x ) sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ f ( sec ⁡ x ) d ( sec ⁡ x ) int f(sec x)sec x an xdx=int f(sec x)d(sec x) ∫f(secx)secxtanxdx=∫f(secx)d(secx)

∫ f ( csc ⁡ x ) csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − ∫ f ( csc ⁡ x ) d ( csc ⁡ x ) int f(csc x)csc xcot xdx=-int f(csc x)d(csc x) ∫f(cscx)cscxcotxdx=−∫f(cscx)d(cscx)

∫ f ( arcsin ⁡ x ) 1 1 − x 2 d x = ∫ f ( arcsin ⁡ x ) d ( arcsin ⁡ x ) int f(arcsin x)dfrac{1}{sqrt{1-x^2}}dx=int f(arcsin x)d(arcsin x) ∫f(arcsinx)1−x2 1dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx)

∫ f ( arctan ⁡ x ) 1 1 + x 2 d x = ∫ f ( arctan ⁡ x ) d ( arctan ⁡ x ) int f(arctan x)dfrac{1}{1+x^2}dx=int f(arctan x)d(arctan x) ∫f(arctanx)1+x21dx=∫f(arctanx)d(arctanx)

例题

题1： 计算 ∫ 1 2 x + 1 d x int dfrac{1}{sqrt{2x+1}}dx ∫2x+1 1dx

解：原式 = ∫ ( 2 x + 1 ) − 1 2 d x = 1 2 ∫ ( 2 x + 1 ) − 1 2 d ( 2 x + 1 ) = ( 2 x + 1 ) 1 2 + C =int (2x+1)^{-frac 12}dx=dfrac 12int (2x+1)^{-frac 12}d(2x+1)=(2x+1)^{frac 12}+C =∫(2x+1)−21dx=21∫(2x+1)−21d(2x+1)=(2x+1)21+C

题2： 计算 ∫ x cos ⁡ ( x 2 + 2 ) d x int xcos (x^2+2)dx ∫xcos(x2+2)dx

解：原式 = 1 2 ∫ cos ⁡ ( x 2 + 2 ) d ( x 2 + 2 ) = 1 2 sin ⁡ ( x 2 + 2 ) + C =dfrac 12int cos(x^2+2)d(x^2+2)=dfrac 12sin(x^2+2)+C =21∫cos(x2+2)d(x2+2)=21sin(x2+2)+C

总结

常见凑微分公式并不需要背，只要掌握技巧，这些都是可以推出来的。