【综合笔试题】难度 1.5/5，常规二叉树爆搜题

题目描述

这是 LeetCode 上的 ，难度为 中等。

Tag : 「树」、「二叉搜索树」、「BST」、「DFS」、「递归」、「爆搜」

给你一个整数 n，请你生成并返回所有由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的不同 二叉搜索树 。可以按 任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 3

输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]
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示例 2：

输入：n = 1

输出：[[1]]
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提示：

1 <= n <= 81<=n<=8

回溯算法

题目要我们求所有所能构造的二叉搜索树的具体方案，而给定 nn 个节点所能构成的二叉搜索树的个数为 。

其他方案数同为卡特兰数的还包括：凸多边形三角划分、n 对括号正确匹配数目 ...

回到本题，根据二叉搜索搜索的特性，若某个子树的根节点为 root，那么 root 的左子树任意节点值均比 root.val 要小，root 的右子树任意节点值均比 root.val 要大。

因此，假设我们使用 [l, r][l,r] 连续段来构造二叉搜索树，并且选择了节点 t 作为二叉搜索树的根节点时，那么使用 [l, t - 1][l,t−1] 构造出来的二叉搜索树均可作为根节点 tt 的左子树；同理，使用 [t + 1, r][t+1,r] 构造出来的二叉搜索树均可作为根节点 t 的右子树。

也就是说，我们可以设计递归函数 List<TreeNode> dfs(int l, int r)，含义为使用连续段 [l, r][l,r] 进行二叉搜索树构造，并返回相应集合。

最终答案为 dfs(1, n)，起始我们可以枚举 [1, n][1,n] 范围内的的每个数 t 作为根节点，并递归 dfs(l, t - 1) 和 dfs(t + 1, r) 获取左右子树的集合 left 和 right，结合「乘法原理」，枚举任意左子树和任意右子树，即可得到 t 作为根节点的二叉搜索树方案集，枚举所有 t 后即可得到所有二叉搜索树的总集。

注意：当我们运用乘法原理，来构造以 t 为根节点的二叉搜索树时，其 left 或 right 某一边可能为空集，但此时我们仍要将非空的一边子树进行挂载。 为了确保两层新循环的逻辑会被执行，对于空集我们不能使用 null 来代指，而要使用 [null] 来代指。

Java 代码：

class Solution {
    public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
        return dfs(1, n);
    }
    List<TreeNode> dfs(int l, int r) {
        if (l > r) return new ArrayList<>(){
         
  {add(null);}};
        List<TreeNode> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            for (TreeNode x : dfs(l, i - 1)) {
                for (TreeNode y : dfs(i + 1, r)) {
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = x; root.right = y;
                    ans.add(root);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}
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TypeScript 代码：

function generateTrees(n: number): Array<TreeNode | null> {
    function dfs(l: number, r: number): Array<TreeNode | null> {
        if (l > r) return [null]
        const ans = new Array<TreeNode>()
        for (let i = l; i <= r; i++) {
            for (const x of dfs(l, i - 1)) {
                for (const y of dfs(i + 1, r)) {
                    const root = new TreeNode(i)
                    root.left = x; root.right = y
                    ans.push(root)
                }
            }
        }
        return ans
    }
    return dfs(1, n)
}
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Python 代码：

class Solution:
    def generateTrees(self, n: int) -> List[Optional[TreeNode]]:
        def dfs(l, r):
            if l > r:
                return [None]
            ans = []
            for i in range(l, r + 1):
                for x in dfs(l, i - 1):
                    for y in dfs(i + 1, r):
                        root = TreeNode(i)
                        root.left, root.right = x, y
                        ans.append(root)
            return ans
        return dfs(1, n)
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时间复杂度：卡特兰数 空间复杂度：卡特兰数