求矩阵的幂的一个好方法

设 $dps{A=sex{a{ccc}1&0&0\ -1&0&1\ 0&1&0ea}}$, 求 $A^{100}$.

解答: 易知 $A$ 的特征多项式为 $f(lambda)=|lambda E-A|=(lambda+1)(lambda -1)^2$. 由 Hamilton-Caylay 定理, $$ex f(A)=(A+E)(A-E)^2=0. eex$$ 对 $g(lambda )=lambda ^{100}$, 由多项式的带余除法知 $$ex g(lambda )=q(lambda )f(lambda )+alambda ^2+blambda +c. eex$$ 将 $lambda=-1$, $lambda =1$ 代入上式, 将 $lambda =1$ 代入上式求导后的等式, 得 $$ex a-b+c=1,quad a+b+c=1,quad 2a+b=100. eex$$ 于是 $$eex ea &quad a=50,quad b=0,quad c=-49\ & a A^{100}=g(A)=50A^2-49E=sex{a{ccc} 1&0&0\ -50&1&0\ -50&0&1 ea}. eea eeex$$

设 $dps{A=sex{a{ccc}1&0&0\ -1&0&1\ 0&1&0ea}}$, 求 $A^{100}$. 解答: 易知 $A$ 的特征多项式为 $f(lambda)=|lambda E-A|=(lambda+1)(lambda -1)^2$. 由 Hamilton-Caylay 定理, $$ex f(A)=(A+E)(A-E)^2=0. eex$$ 对 $g(lambda )=lambda ^{100}$, 由多项式的带余除法知 $$ex g(lambda )=q(lambda )f(lambda )+alambda ^2+blambda +c. eex$$ 将 $lambda=-1$, $lambda =1$ 代入上式, 将 $lambda =1$ 代入上式求导后的等式, 得 $$ex a-b+c=1,quad a+b+c=1,quad 2a+b=100. eex$$ 于是 $$eex ea &quad a=50,quad b=0,quad c=-49\ & a A^{100}=g(A)=50A^2-49E=sex{a{ccc} 1&0&0\ -50&1&0\ -50&0&1 ea}. eea eeex$$