数理方法是一门十分没有乐趣的课 数理方法是一门十分重要的课 隔壁核工的 去年老师挂了36个

复函数积分

在复变函数中，只有解析函数的不定积分才有意义 命令

Integrate[f[z],{z,z1,z2}]

Integrate[z^2 + z + 4, {z, I + 2, 2*I + 5}]
42 + (167 I)/3

解析函数的展开

Series[f[z],{z,z0,n}]
*
参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幂
*

In Series[Sin[z]/z, {z, I, 5}]
Out

In Series[1/(z^3 + 2*z^2 + 5*z + 6), {z, I, 5}]
Out

复级数的收敛判断

Sum[n*I, {n, 1, Infinity}]

Sum[I/n^2, {n, 1, Infinity}]

复函数的分解

将复变函数f(z)分解为实部和虚部

ComplexExpand[Sin[x + y*I]]

验证柯西定理

Integrate[z^2 + z + 4, {z, I + 2, 2*I + 5, 6, I + 2}]
0

留数计算

Residue[f[z],{z, z0}]指令

Residue[Sin[z]/(z*(z - 1)), {z, 0}]
0
Residue[Sin[z]/(z*(z - 1)), {z, 1}]
Sin[1]

乐，复变函数压根写不出来 所以复变函数还有个可视化的问题，可视化的命令是ComplexPlot3D

复变函数可视化

ComplexPlot3D

ComplexPlot3D[E^z, {z, -1 - I , 1 + I }, BoxRatios -> {1, 1, 1}, 
 PlotRange -> {
         
  {-[Pi], [Pi]}, {-[Pi], [Pi]}, {0, 2 [Pi]}}]

三个坐标轴分别表示 自变量的实部 虚部 和 因变量的模长，颜色表示因变量的辐角

ComplexPlot

ComplexPlot[E^z, {z, -[Pi] - I [Pi], [Pi] + I [Pi]}]

坐标表示 自变量的实部与虚部 透明度表示因变量的模长与辐角

奇点

ComplexPlot[(z + 5)^2/((z - 1 - I) (z - 0.5 - 0.5 I)^2), {z, 0, 2 + 2 I}, 
 ColorFunction -> None]

明显的 0.5+0.5I处有两个旋，是二阶的极点 1+I 处有一个旋，是一阶的极点

本性奇点

ComplexPlot[E^(1/z), {z, -1 - I , 1 + I}, ColorFunction -> None]