伽马函数与贝塔函数的定义
伽马函数
称以下函数
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x Gamma(alpha)=int_0^infty x^{alpha -1}e^{-x}{ m d}x Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx
为 伽马函数，其中参数 α > 0 alpha>0 α>0，伽马函数具有以下性质
1. Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 1 2 ) = π Gamma(1)=1,Gammaleft(frac{1}{2} ight)=sqrt{pi} Γ(1)=1,Γ(21)=π 2. Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) Gamma(alpha+1)=alphaGamma(alpha) Γ(α+1)=αΓ(α).当 α alpha α 为自然数 n n n 时，有 Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ! Gamma(n+1)=nGamma(n)=n! Γ(n+1)=nΓ(n)=n!
贝塔函数
称以下函数
B ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 B(a,b)=int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1} B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1
为 贝塔函数 ，其中参数 a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a>0,b>0,贝塔函数具有以下性质
- B ( a , b ) = B ( b , a ) B(a,b)=B(b,a) B(a,b)=B(b,a)
- 贝塔函数与伽马函数间有关系
B ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) B(a,b)=frac{Gamma(a)Gamma(b)}{Gamma(a+b)} B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
