矩阵的基变换及对应基变换下向量的坐标变换
假设在世界坐标系中有两组基分别是 E 1 E_1 E1和 E 2 E_2 E2，两组基上分别有一个向量 X X X和 Y Y Y。那么：
对 X X X向量进行一次 A A A变换得到向量 Z Z Z，再对 Y Y Y向量进行一次 B B B变换得到同样得到向量 Z Z Z。 根据以上描述便得到：
X ⋅ A = Z = Y ⋅ B Xcdot A=Z= Ycdot B X⋅A=Z=Y⋅B
将变换单独提出来表示：
X ⟶ A Z ⟵ B Y Xstackrel{A}{longrightarrow} Z stackrel{B}{longleftarrow} Y X⟶AZ⟵BY
如果要让向量 X X X变换为向量 Y Y Y，那么从上面的过程可以看出来只需要进行如下操作：
X ⟶ A Z ⟶ B − 1 Y Xstackrel{A}{longrightarrow}Z stackrel{B^{-1}}{longrightarrow} Y X⟶AZ⟶B−1Y
对应的矩阵操作就是：
X ⋅ A ⋅ B − 1 = Y Xcdot Acdot B^{-1} = Y X⋅A⋅B−1=Y
令 A ⋅ B − 1 = C Acdot B^{-1} = C A⋅B−1=C, 则 X ⋅ C = Y Xcdot C = Y X⋅C=Y，表示如下：
X ⟶ C Y X stackrel{C}{longrightarrow} Y X⟶CY
上面的意义就在于用一次变换 C C C表示了两次变换 A ⋅ B − 1 A cdot B^{-1} A⋅B−1。
综合以上表述得到如下两个式子：
{ A = C ⋅ B X = Y ⋅ C − 1 egin{cases}A=Ccdot B \X=Ycdot C^{-1} end{cases} { A=C⋅BX=Y⋅C−1
上式中 A A A与 B B B之间的变换便是 E 1 E_1 E1和 E 2 E_2 E2的基变换，而向量 X X X与向量 Y Y Y之间的变换可以看出是在基变换下向量的坐标变换。
