中值定理总结_泰勒中值定理证明
我曾在下面的文章中介绍过泰勒级数的推导，下面我们直接给出泰勒中值定理：
恭恒：幂级数和泰勒级数zhuanlan.zhihu.com泰勒(Taylor)中值定理1 如果函数
在
处具有n阶导数，那么存在 处具有n阶导数，那么存在
的一个邻域，对于该邻域内的任一 的一个邻域，对于该邻域内的任一
，有 ，有
其中其中
证明：记
由于
在 在
处有n阶导数，因此 处有n阶导数，因此
在 在
的某邻域内存在(n-1)阶导数，从而 的某邻域内存在(n-1)阶导数，从而
也在该邻域内(n-1)阶可导，反复应用洛必达法则，得 也在该邻域内(n-1)阶可导，反复应用洛必达法则，得
因此
，定理即证。 ，定理即证。
注意我们以前说的高阶无穷小的定义：如果
， ，
记作
。 。
泰勒中值定理2，可以参考下文，
光能丰：从微分中值定理到泰勒展开公式zhuanlan.zhihu.com下面直接给出书上的结论和证明：
上面两个定理说的是啥呢？
泰勒公式和泰勒中值定理的区别？以及中值定理有什么用？www.zhihu.com泰勒中值定理是泰勒公式的一种，是按泰勒余项类型来说的，余项为拉格朗日型余项时，利用中间值给出了余项的值，是上面的泰勒中值定理2，而皮亚诺余项时，余项仅用高阶无穷小来表示，是上面的泰勒中值定理1。中值定理的直接作用，是实现了函数定量的多项式表达，为函数值的估计提供了方便……同时呢，可以根据函数的导数及高阶导数值总结给出一些函数的特征，譬如凹凸函数之类的。更多内容参考中文维基和英文维基。
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