高斯消元法求矩阵的逆

逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。 矩阵求逆一般有两种方法，一个是伴随矩阵法，一个是初等变换法，也就是高斯消元法。这里主要讲高斯消元法的编程方法。 由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是n imes n方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵A施以初等行变换（初等列变换）就相当于在A的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对A和I施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵A被变为I时，I就被变为A的逆阵B。

bool Gauss(float A[][N], float B[][N], int n)
{
    int i, j, k;
    float max, temp;
    float t[N][N];                //临时矩阵
                                  //将A矩阵存放在临时矩阵t[n][n]中
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            t[i][j] = A[i][j];
        }
    }
    //初始化B矩阵为单位阵
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            B[i][j] = (i == j) ? (float)1 : 0;
        }
    }
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        //寻找主元
        max = t[i][i];
        k = i;
        for (j = i + 1; j < n; j++)
        {
            if (fabs(t[j][i]) > fabs(max))
            {
                max = t[j][i];
                k = j;
            }
        }
        //如果主元所在行不是第i行，进行行交换
        if (k != i)
        {
            for (j = 0; j < n; j++)
            {
                temp = t[i][j];
                t[i][j] = t[k][j];
                t[k][j] = temp;
                //B伴随交换
                temp = B[i][j];
                B[i][j] = B[k][j];
                B[k][j] = temp;
            }
        }
        //判断主元是否为0, 若是, 则矩阵A不是满秩矩阵,不存在逆矩阵
        if (t[i][i] == 0)
        {
            printf("There is no inverse matrix!");
            return false;
        }
        //消去A的第i列除去i行以外的各行元素
        temp = t[i][i];
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            t[i][j] = t[i][j] / temp;        //主对角线上的元素变为1
            B[i][j] = B[i][j] / temp;        //伴随计算
        }
        for (j = 0; j < n; j++)        //第0行->第n行
        {
            if (j != i)                //不是第i行
            {
                temp = t[j][i];
                for (k = 0; k < n; k++)        //第j行元素 - i行元素*j列i行元素
                {
                    t[j][k] = t[j][k] - t[i][k] * temp;
                    B[j][k] = B[j][k] - B[i][k] * temp;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

完整的测试代码如下：